理论物理学家Weinberg书第一章第一段(S.Weinberg, Gravitation and Cosmology):物理不是一个完备的逻辑体系。（正如一位数学同事开玩笑说道：你们物理做的东西既不能说是错的也不能说是对的）

原文：Physics is not a finished logical system. Rather, at any moment it spans a great confusion of ideas, some that survive like folk epics from the heroic periods of the past, and others that arise like utopian novels from our dim premonitions of a future grand synthesis.

要说清楚什么是Finsler几何必须简单谈谈与物理相关的几何发展史。2600年前几何学大神将他对空间的理解书写在13卷羊皮纸上。以5大公理为基础发展起来的欧几里得几何至今仍不断“折磨”着广大的初高中同学（几何叉叉角角，老师难教，学生难学。出自初中数学流行语句）。 而与欧几里得几何密切相关的是牛顿的绝对的时空观：绝对空间欧几里得几何，绝对时间均匀流逝。

牛顿力学的修正或推广要从2个世纪之前物理界两大学派，即光的“微粒派”与“波动派”，之间的争锋谈起。牛顿是“微粒派”的幕后老大，因此在牛顿活着的年代，“波动派”非常被动，用现在的话来说就是文章完全没法发表。直到麦克斯韦的年代，“波动派”才有了一席之地（坊间传言老麦是“波动派”的幕后老大。没办法，电磁波太出名了）。

俗话说两虎相争必有一伤，为什么两派相争却又彼此都存活这么久呢？那是因为物理是以实验为基础的学科，两派都找到了坚实的实验证据来支持自己。于是乎两派人马都开足马力互喷（哦，不对，是开动脑筋寻找新的实验证据来支持自己）。“波动派”最被诟病的是光传播的介质-以太，并没有被找到（因为当时所有物理学家都认为波传播是需要介质的）。

科学研究最诡异的事情就是：花了钱，建了设备，却完全没有达到预期目标，但是却搞出非常有意思的副产品。19世纪末迈克尔逊-莫雷搞出一套装置-激光干涉仪（现在测引力波的仪器就是以此为基础），放了一颗气球，准备寻找以太的存在。在那个年代迈克尔逊-莫雷的做法不亚于现在放卫星测引力波。为什么搞这么精密的测量？主要是根据理论物理学家的估算，以太这种介质应该足够的稀薄，要不然地面传统的测声学介质的办法早就找到以太了。但是，遗憾的是迈克尔逊-莫雷的实验结果完全是0，也就是什么迹象也没发现。也许是为了给赞助者交账，也许是科学精神的需要，这两位伙计还是顶住压力写了一篇实验结果的文章。文章一公布，不得不说这对“微粒派”来说是一个胜利。

事情就此结束了吗？还没完，记住，理论物理学家是万能的。就在迈克尔逊-莫雷的文章公布没多久，一位叫菲茨杰拉德的哥们马上在Science刊出一封信，宣称以太还没死。（注意Science当时就是一报纸，像这样能够引起顶级人物打嘴仗的话题一向是报纸非常乐意刊登的）菲茨杰拉德的结论是：物体的长度在通过以太会发生改变（变形金刚祖师爷），其大小依赖于以太速度于光速之比的平方。

这两派的战斗直接引出两件事，一是量子力学，二是狭义相对论。在总结了前人的工作基础上（前人包括或可能包括，洛伦兹，Minkowski，迈克尔逊-莫雷，菲茨杰拉德等等），1905年爱因斯坦提出了著名的狭义相对论。爱因斯坦的狭义相对论：时空间隔（世界时）-4维Minkowski时空是绝对的，真空中光速是不变的。

狭义相对论与牛顿力学对惯性系的定义基本一致，其目的是为了从根本上定义好物体不受力下的运动行为。当然，对物体直线运动的数学形式上的理解在历史上是有争论的。原因是满足直线运动的数学形式只要求物体运动的背景几何是投影（或射影）平坦的（de Sitter与爱因斯坦曾经讨论过）。

对于惯性系的定义，爱因斯坦并不满意。原因：惯性原理的弱点在于它含有循环论证-如果一个物体离开其他物体足够远，它就做没有加速度的运动；而我们却又只能根据它运动时没有加速度的事实才知道它离其他物体足够远。

爱氏认为应当将惯性系与非惯性系的物理规律统一起来，于是乎有了广义相对论的诞生。如果说狭义相对论的建立还有若干前人的肩膀可以站站，那么广义相对论几乎完全是凭爱氏一己之力建立起来的。其结果就是将爱因斯坦从著名的物理学家拔高成大神级物理学家。

广义相对论的建立完全可以类比牛顿三大定律与万有引力定律的建立。其建立的几大假设（“公理”）如下：

1.局域惯性系下运动规律由狭义相对论描述（牛一），

2.等效原理，即局域惯性力与引力不可区分（牛二），

3.力的概念由相互作用替代（牛三），

4.广义坐标协变性原理（物理规律在不同坐标下实质等价），

5.物质与时空是最小耦合（物质不与时空的导数项耦合），

6.理论的动力学只由包含时空度量的二阶导数运动方程所描述（主要是保证粒子运动轨道的稳定性），

7.二阶张量理论（主要是标量矢量理论在爱氏之前有人建立，而自旋的概念还得等到量子力学诞生），

8.能动量张量的散度为0（“能量”“动量”在弯曲时空下守恒），

9.描述时空的黎曼几何是无挠的（没有扰率），

10.引力场方程在牛顿极限下要回到牛顿万有引力定律。

利用假设4-10，爱因斯坦可以建立起描述引力的爱因斯坦场方程（牛万）。等等，好像还缺点数学工具用以表达爱氏的引力理论。正如牛顿大神不仅发明了牛万，也发明了描述他理论的数学工具-微积分。爱因斯坦发现其理论与几何密切相关，回想起大学学过的数学课程-高斯的曲面论（大学认真听课还是有必要的）。在数学朋友的帮助下，爱氏在图书馆的一个不起眼的小角落发现了一本小册子（难道是九阳真经）--黎曼著的微分几何。爱氏翻看之后发现，黎曼著的微分几何是优美的，有用的，但一定不是有趣的。爱氏自1905年提出狭义相对论，直到1912年才提出广义相对论。估计其中大量时间用来学习黎曼的微分几何。好了，有了黎曼几何这一大利器，爱因斯坦广义相对论建立起来了。其核心思想是将引力效应等效为时空弯曲（此时空曲率由黎曼几何刻画）。

正如黎曼几何的建立始于若干著名数学家对欧几里得第五公理的批判，理论物理学家在修改广义相对论的道路上更为大胆。从假设1-10中除3外几乎没有不被修改的。除假设1外是狭义相对论提出的，假设2-10均为广义相对论建立所需要的。如果让爱因斯坦选的话最应该保留的假设即是假设2与假设4。因为假设2为理想实验得出，颇有物理学大咖伽利略之风（舟行不觉，牛一建立的前身。注意牛一是牛顿力学最大且最重要的基石，虽然它对于不少学物理的大学生来说顶多就是一道选择题。）。假设4关乎于爱因斯坦的物理信仰。但是，现代理论物理学家的信仰就是：一切皆有可能。于是乎破坏假设2的非度量理论（比较著名的是数学家Elie Cartan提出的Einstein-Cartan理论）及破坏假设4的如Horava-Lifshiz引力理论相继诞生。

目前研究引力的理论物理学家的信仰：寻找广义相对论的边界，即从理论上探索广义相对论的替代理论，从实验上寻找偏离广义相对论的实验迹象。

在修改广义相对论的诸多路径上，其中一个可能就是在Finsler时空下建立的引力理论。那么就必须谈谈什么是Finsler几何。Finsler几何起源于Paul Finsler的博士论文，而后被E.Cartan命名此类几何为Finsler几何。为啥Finsler会研究这么基础的几何学问题？原因很简单，这位老兄跑到哥廷根大学去念研究生，而该大学又有搞几何的传统，例如高斯，黎曼这两位数学界大神。

Finsler在干完他的博士论文，基本上就撂挑子不再继续研究Finsler几何。而Finsler几何的基本构架的搭建还有赖于数学家L.Berwald,E.Cartan, S.S.Chern等搭好了联络以及曲率等几何学非常重要的零件。

那么到底什么是Finsler几何？简言之，引用陈省身先生的话,Finsler几何就是几何度量没有二次型限制的几何。而黎曼几何的几何度量就是二次型的。因此黎曼几何就是Finsler几何的特例。那么非黎曼的Finsler几何有什么特点呢？这就要说说非黎曼的Finsler几何的几大怪。

1.几何度量没有确切表达形式（非二次型的矩阵太多了）

2.联络曲率好几套，在数学上都是合理的

3.黎曼几何下的许多概念如体积元，Laplace算子等在不同定义下得出的结果都是彼此等价，但Finsler几何下许多概念在不同定义下得出的结果是不等价（该用哪个好呢?）

4.自由度多的代价结果就是对称性变小了，更坏的结果就是常曲率空间是不等价的（黎曼几何由beltrami定律对常曲率空间分类结果就是只存在三类空间，即高斯型-曲率为正-参考球面，欧氏型-曲率为0-参考平面，罗巴切夫型-曲率为负-参考双曲面）

对于搞引力的最为重要的就是引力场方程的建立，然后才是解析或数值解（不要太过指望数值解，引力场方程过于的非线性），然后才是提出排他的可以被目前或不久的未来的实验所检验。爱氏实际提出两套独立的方法都得出同样的引力场方程，在第二套的专利权上还与希尔伯特打了会儿嘴仗。而将这两套方法用到Finsler几何框架下建立的引力理论，可以得到两套完全不同的引力场方程。当然，还能让搞物理的喘口气的就是测地线方程以及测地线偏离方程是唯一的。主要是因为这两者都是由弧长的第一与第二变分所得，让数学家没了发挥的空间。

虽然，Finsler几何有种种不利因素。但是，搞理论的就是善于将不利变为有利。例如对称性变小直接的影响就是修改爱氏假设1，这就是理论物理学家研究的洛伦兹对称性破缺。Glashow用之解释为什么中微子质量这么小，Kostelecky用之讨论粒子物理标准模型的扩展。鄙人用之解释了一把宇宙微波背景辐射大尺度下的对宇宙学原理的偏离。总之，你的缺点正是我想要的。

最后一件要问的事就是不管什么场方程，是否有解？答案：这个可以有。鄙人得到一类和广义相对论Schwarzschild解相似的严格解。其解在数学上是Ricci-flat流形，物理原理上仅仅破坏爱氏假设1，与Schwarzschild解不多的实验区别是在水星进动，光线偏折上（引力波目前还没研究好），理论区别是解不唯一（原因出在常曲率空间不等价上），无引力源时不能回到平坦的Finsler时空。

一些与Finsler几何有关的参考文献
[1]D. Bao, S. S. Chern and Z. Shen, An Introduction to Riemann–Finsler Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 200, Springer, New York, 2000.
[2]Z. Shen, Lectures on Finsler Geometry (World Scientific,Singapore, 2001).
[3]X. Li and Z. Chang, Differential Geometry and its Applications 30, 737 (2012).
[4]S. R. Coleman and S. L. Glashow, Phys. Lett. B 405, 249(1997)；Phys. Rev. D 59, 116008 (1999); Phys. Rev. Lett. 97, 021601 (2006).
[5]G. W. Gibbons, J. Gomis and C. N. Pope, Phys. Rev. D 76, 081701 (2007).
[6]V.A.Kostelecky, Phys. Lett. B 701, 137 (2011); V.A.Kostelecky, N. Russell, R. Tso, Phys. Lett. B 716, 470 (2012).
[7]C. Pfeifer and M. N. R. Wohlfarth, Phys. Rev. D 84, 044039 (2011)；C. Pfeifer and M. N. R. Wohlfarth, Phys. Rev. D 85, 064009 (2012) .
[8]X. Li and Z. Chang，Phys. Rev. D 90, 064049 (2014).
[9]X. Li, Phys. Rev. D 98, 084030 (2018).

本文实属本人个人理解与演义所得，如有不妥之处请各位看官多多海涵。